说到傅里叶变换，大多数人第一反应就是频谱分析（如图1）。作为构建数字信号处理技术和产业大厦的两大基石之一（另一个是采样定理），其实际应用远不止于此。

图1 祯仪软件观测2.4GHz WiFi 及蓝牙实时频谱

相较于在学校仅学习傅里叶变换理论，参加工作后，真正深入具体项目，小编才进一步感受到傅里叶变换的巨大威力和价值：傅里叶变换及其快速算法快速傅里叶变换，不仅仅是一个变换，而是可以灵活地运用，极高效地去完成很多事情。这里尝试举几个具体的工程应用案例。

当我们吃着火锅刷着抖音，我们手机上就进行着高速的傅里叶变换。上网离不开移动通信，而OFDM调制是4G/5G移动通信的核心技术，每个OFDM符号，都由傅里叶变换完成。粗略估算：每使用4G手机1小时，就对应五千万个OFDM符号（如图2，我国4G信号多采用子载波间隔15kHz的OFDM调制，4G信号的基本单位是10ms的无线帧，一个无线帧内共20个slot时隙，每个时隙有14个OFDM符号，那么10ms共140个OFDM 符号）。若是5G手机，则每小时对应1亿个OFDM符号（如图2，子载波间隔30kHz，每个无线帧的OFDM符号翻一倍）。从这个角度说，傅里叶变换不再是书本上的一个公式，而是强力地支撑着我们每个人的生活和工作。

图2 4G LTE的帧结构

       当然，以上只是粗略估算，中国广电的5G带宽只有30MHz，少于中国移动的100MHz，那么1秒钟的OFDM符号数量会少一些吗？中国移动的5G是TDD制式的，上下行数据量不同，1秒钟的OFDM符号数量会有变化吗？OFDM符号的时间长度，子载波个数，CP间隔，带宽占用之间有什么关系？感兴趣的可以继续想一想，也不妨找AI问一问，有助于进一步了解公众移动通信信号和OFDM通信理论。

图3  5G NR的帧结构

      利用傅里叶变换实现的正交频分复用调制（OFDM调制）如图4，是傅里叶变换在工程实践中的一大精彩应用，它不但被第四代移动通信4G-LTE、第五代公众移动通信5G-NR采用，也被WiFi、数字电视、无人机图传、卫星通信等大量采用，相对之前的技术方法，它很好的解决了无线通信的多径干扰问题，同时由于子载波间的正交性，很好的提升了频谱利用率，这对通信运营商的盈利是至关重要的。更重要的是，它助力人类进入移动互联时代。这样说来，傅里叶变换可谓功不可没。

图4 傅里叶变换应用到OFDM调制

此外，傅里叶变换还有很多其它的精彩应用，在软件无线电领域，很大的一个任务就是使用尽量少的软硬件资源，实现更大带宽，更多信号处理，这就是发射机中的DUC模块和接收机的DDC模块。这其中不可避免的使用了大量的滤波器，为了节省资源人们可谓绞尽脑汁，除了经典的FIR滤波器外，又搞出来节省一半乘法器的HBF半带滤波器，甚至只用加法不用乘法的CIC积分梳状滤波器。但这还不够，为了进一步发挥节本增效的精神，人们整出了信道化接收方案，利用快速傅里叶变换实现不同频带信号的搬移，解决了有多个信号就要配置多少个DDS的现状，从而进一步降低了硬件成本和设备功耗。基于傅里叶变换的信道化方案已经在电抗领域的雷达侦察接收机中广泛采用，可实现了1GHz带宽内的几百上千个信号并行实时处理和检测，如图5。

图5 信道化接收机的典型处理架构

在图像和语音信号处理方面，傅里叶变换也是无处不在的。比如广泛使用的图片格式JPEG，采用DCT离散余弦变换来提取图像的主要特征和信息，从而极大的压缩图像。而DCT的运算就借助了傅里叶变换。我们最熟悉的语音编码格式MP3/AAC，以及4G/5G手机中的语音编码处理，也都大量采用傅里叶变换。比如MP3的语音编码处理过程中，将音频信号分成了若干个小块，在每个小块上进行DCT变换，同样也可以借助FFT完成。

图6  傅里叶变换用于JPEG图像压缩/解压

图7 傅里叶变换用于MP3音频压缩编码

在卫星导航领域，傅里叶变换同样大显身手，可以让我们使用更小的电池实现导航定位。卫星导航信号为了提升接收性能，普遍采用扩频通信体制，同时为了提升抗干扰抗截获能力，军用导航信号的扩频码极其长，卫星导航终端为了实现码同步，需要进行非常大的相关运算，而大运算量时的相关运算就可借助傅里叶变换完成，相关运算长度越大，使用傅里叶变换带来的价值也越大。

图8 利用FFT完成大运算量的相关运算

傅里叶变换在军用雷达领域也同样是大展拳脚，比如当前的雷达均采用了脉冲多普勒体制以便更好的发现运动中的坦克/车辆/舰船等重要目标，使用了SAR合成孔径体制进行全天候地形成像，在雷达接收机中，不论是脉冲多普勒处理，还是合成孔径处理，都大量采用了傅里叶变换。可以说，没有傅里叶变换，就不可能有高效、实用的合成孔径雷达系统。

图 9  傅里叶变换应用于SAR合成孔径雷达成像处理

通过以上案例，可以看出傅里叶变换的玩法很多，不仅仅可以直接应用于常见的频谱分析和时频分析，也可以用于本文提到的通信信号的高效调制，语音信号图像信号的编解码，导航信号的同步，雷达信号的目标检测和成像，甚至也广泛地应用于医学与地质中的数据分析、控制系统中的稳定性分析等，它架起了连接抽象数学与现实世界的桥梁，深度地渗透到了信号处理的方方面面，称之为信号处理的一大基石，是毫不为过的。

祯仪科技，专业从事宽频段无线电信号接收，适用于无线电管理、信号侦查与分析、通用频谱分析、卫星导航监测、低空复杂电磁环境感知等。