Sinc函数在信号处理和通信领域的理论和实践意义都很大。下面列举几个关于它的重要特性：

●在𝑥=0处，函数值为1，在整数处，函数值为0;

●它与理想的矩形脉冲函数互为傅里叶逆变换;

●Sinc函数是一个理想的插值函数，因为它在整数点上的取值特性使其成为重建带限信号的理想工具。根据奈奎斯特采样定理，通过Sinc函数插值可以无失真地重建带限信号，采样定理的证明中就有它的身影；

●在数字信号处理中，Sinc函数是理想低通滤波器的冲激响应，它在频域中完全消除高于截止频率的信号分量。 

通过上面的描述我们知道，一个矩形波形的傅里叶变换是Sinc函数。那么，周期性矩形波形的傅里叶变换是什么样的呢？根据信号处理基础理论，时域的周期化，对应频域的离散化，因此周期性矩形的傅里叶变换是离散-形式的Sinc函数，可以认为是连续的Sinc函数的等间隔离散采样。如下图所示：

图4 离散化后的Sinc函数

真实世界中，真实的电磁信号，有周期矩形波形这种形式吗？哪种电磁信号的波形是周期矩形波形这种形式呢？这不能在各种通信信号中寻找，因为周期矩形不能携带通信系统要传输的信息。即使最原始的电报信号，为了传输各种码字，也不是周期发送的。真实应用中，严格按照周期发射矩形脉冲的信号其实是雷达脉冲信号。最简洁，最经典，最早获得应用的雷达脉冲信号就是周期发射的、矩形形状的脉冲信号，脉冲的脉宽，脉冲的周期都是固定的一个数值，通常在微秒这个数值级别。

一个有意思的事情是，接收到雷达脉冲信号后，完全可以通过雷达脉冲信号的频谱，就可估算出它的脉冲宽度和脉冲重复周期。通过一个频谱仪，或者一个监测接收机就可做这个事情。

通常我们在频谱图上，看到的雷达脉冲信号频谱形状就是上面描述的Sinc函数形状，跟众多通信信号不同，雷达脉冲信号的旁瓣很大，也很多，且沿雷达脉冲信号中心频率两侧逐渐衰减，衰减趋势完全遵循Sinc函数的衰减特性。

一个典型雷达脉冲信号的频谱如下图所示，如果仔细观测雷达脉冲信号的频谱，用marker测量雷达脉冲信号的主瓣带宽和旁瓣带宽，会发现各个旁瓣带宽是相同的，至少幅度不同而已。而且主瓣的宽度似乎正好是旁瓣带宽的两倍。

图5 雷达脉冲信号的频谱

如果我们提高频谱仪或接收机频谱分析的频谱分辨率，就可看到这个脉冲信号频谱的细节，如下图所示，可以看到，雷达脉冲信号的频谱其实是离散的，就像很多梳子齿一样，由很多离散的谱线构成，而且这些梳子齿形状的谱线的间隔是相同的。

图6 雷达脉冲信号的频谱（放大细节后）

那么，如何通过这个频谱估算脉冲信号的脉宽和重复周期呢？简单说，在频谱上，旁瓣的带宽的倒数，就是脉冲宽度；那些梳子齿（离散的谱线）的间隔的倒数，就对应脉冲重复周期。因为脉冲重复周期总是大于脉宽的，取倒数后，到了频域，自然旁瓣宽度就大于梳子齿的宽度了。

用PW表示脉冲宽度，用PRI表示脉冲重复周期，则可总结出如下规律：

1.旁瓣带宽 = 1/PW；主瓣带宽等于2倍的旁瓣带宽；同时也意味着脉宽越窄，主瓣/旁瓣的带宽越大；1微秒脉宽的脉冲，主瓣宽度2MHz；10ns脉宽的脉冲，主瓣宽度就增加到200MHz，加上众多的旁瓣，脉宽的总带宽就更大了。

2.离散的谱线间距 = 1/PRI；意味着若是10%占空比，重复周期是脉宽的10倍，则每个旁瓣内就有10根离散谱线。脉冲重复周期越大，意味着离散的谱线间隔越小。

为什么会有这个规律呢，可以从脉冲信号的傅里叶变换后的Sinc函数特性分析：

一个脉冲可看作一个矩形方波x(t)，脉宽为τ，其傅里叶变换后的频谱公式为：

也就是上面提到的Sinc函数形式。当f = 1/τ的整数倍时，上式为0，也就是幅度谱在这些频点的幅度为0，也就形成了多个等间隔分布的旁瓣。因此通过主瓣/旁瓣的宽度，就可倒推出脉冲的宽度。真实的雷达脉冲不止1个，通常是周期发射的，周期为T。通过傅里叶变换理论可知，周期函数的频谱是离散形式的，因此周期脉冲的傅里叶变换如下：

频谱的形状仍是Sinc函数形式，因此主瓣/旁瓣宽度是相同的。但由于频谱离散化了，只在部分频点有频谱分量，这些频点是等间隔分布的，间隔就是1/T。这也是频谱仪上看到的那些小梳子（谱线）的间隔。

通过雷达脉冲信号的频谱分析，我们可以说，做了一个关于Sinc函数的真实试验，也进一步的了解了Sinc函数，而这也是信号处理基础理论知识与真实工程实践的一一对应，密切结合的一个经典案例。通常在学习数字信号处理课程时，往往会觉得这门课程非常抽象和枯燥，那是因为学习期间无法很好的接触到真实的工程实践。当参加工作后，亲身接触到一些工程实践后，再回过头来看这些数字信号处理理论知识，才能更好的感受到数字信号处理理论的魅力。

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