奈奎斯特说两倍多采样就可以还原信号，为什么采出来是锯齿波？

Author： 祯仪科技【 Original 】 2025-12-17

前言

奈奎斯特采样定理（奈奎斯特-香农定理）明确：若连续信号x(t)的最高频率（带宽）为Fc，且采样率Fs>2Fc，则信号可通过采样值无失真地重建原信号。对此，不管是真明白还是假明白，我们都深信不已。

但看着ADC采集的那一串数字信号，你有没有觉得它们不是原信号“亲生的”？比如，模拟世界中的原信号是漂亮又平滑的波形，采集出来的为什么是“张牙舞爪”的锯齿波，有没有种魔童转世的感觉？

图1 原始信号VS离散采样信号

若“温太医”拍着胸脯告诉您，这个数字信号就是原信号“亲生的”，那我们应该怎样来“脑补”这个数字信号？怎样科学地在我们脑中重建这个信号呢？

其实，锯齿波（连折线）我们直观而想当然的重建方法，奈奎斯特采样定理对应的信号重建方法是 sinc函数插值（理想低通滤波重建）——这是数学上唯一能实现“无失真还原”的方法，也是所有工程化重建方案的理论基础。

一、采样是“编码”，重建是“解码”

要理解重建方法，需先明确采样与重建的对应关系：

采样过程

本质是用“冲激串”对连续信号x(t)进行调制，得到离散采样值x(nT_s) ( T_s=1/F_s为采样周期）。在频域上，采样会使原信号频谱以F_s为周期重复（形成“镜像频谱”），这一点我们在《奈奎斯特采样定理和带通采样定理是一回事吗？》中说了不少；

重建核心

需从离散采样值中“还原”原始连续频谱，关键是滤除所有镜像频谱，只保留基波频段(-Fc~Fc）——而能完美实现这一目标的，正是“理想低通滤波器”，其脉冲响应恰好是sinc函数，这一点，我们在《奇妙的sinc,从博通公司商标到雷达脉冲分析》中说了不少。

图 2 Sinc函数的波形

二、理想重建：sinc函数插值（数学上的无失真方案）

2.1 重建公式（采样定理的逆应用）

根据奈奎斯特-香农定理的逆定理，连续信号x(t)可由其采样值x(nTs)唯一重建，公式为：

其中：

这就是理想sinc插值公式。

2.2 为什么是sinc函数？——时域+频域的双重适配

sinc函数的独特气质，使其成为“无失真重建”的唯一选择，可从两个维度理解：

（1）时域视角：采样点“锚定”，中间点“平滑补全”

对于原有采样点(t = nTs) :

而其他采样点对应的:

因此公式简化为:

即：原始采样点完全保留，不产生失真；

对于中间点（t≠Ts）：每个点由周围所有采样点通过sinc函数“加权求和”得到——sinc函数的权重随时间距离衰减（符合信号的时域相关性），就像用无数个“钟形曲线”（sinc波形）以采样点为中心叠加，最终形成平滑连续的原始信号，补全的波形无锯齿、无畸变。

（2）频域视角：理想低通，精准滤除镜像

sinc函数的傅里叶变换是矩形窗（理想低通滤波器的频率响应）：

这意味着：

理想低通滤波器的截止频率 Fc=Fs/2（恰好是奈奎斯特频率），能完美保留-Fc~Fc内的原始信号频谱；
采样产生的镜像频谱（±Fs±Fc,±2Fs±Fc,…）均在截止频率之外，被完全抑制——从频域上实现了“频谱净化”，确保重建信号与原始信号频谱一致。

图3 Sinc函数时频关系对应示例

2.3 直观示例：正弦信号的sinc插值重建

一、matlab示例：

对一个2Hz正弦波，用5Hz采样，对比采样后的波形与原始波形，然后再用sinc函数插值，重建波形，再对比插值后的波形与原始波形：

图4 用sinc函数插值重建波形实例

通过上图我们看到，虽然离散采样点的折线图看起来非常“难看”，我们很难直观地认为它完全代表了原始连续信号。

但通过对离散采样点进行sinc插值后，我们可以看到：插值结果神奇地“拟合”出了原始信号的样子，抛开两端因卷积数据中断带来的较大误差，中间段插值的误差降到了极低的水平。

验证源代码如下：

% SINC卷积插值示例

clear; clc; close all;

% 1. 生成原始连续信号参数

f0 = 2; % 信号频率(Hz)

fs = 5; % 采样频率(Hz)，满足fs > 2*f0

T = 5; % 信号时长(s)

t_continuous = 0:0.001:T; % 高密度时间轴，用于绘制"真实"连续信号

% 2. 生成原始连续信号和离散采样信号

x_continuous = sin(2*pi*f0*t_continuous); % 原始连续信号

% 离散采样

t_sampled = 0:1/fs:T; % 采样时间点

x_sampled = sin(2*pi*f0*t_sampled); % 离散采样值

% 3. SINC卷积插值

% 定义插值时间点（比原始采样点更密集）

interp_factor = 10; % 插值密度因子

t_interp = 0:1/(fs*interp_factor):T; % 插值时间点

x_interp = zeros(size(t_interp)); % 初始化插值结果

% 对每个插值点计算SINC加权和[4](@ref)

for i = 1:length(t_interp)

t_current = t_interp(i);

% 计算当前时间点与所有采样点的SINC权值

% 注意：MATLAB中的sinc函数定义为sinc(x) = sin(πx)/(πx)

sinc_weights = sinc((t_current - t_sampled) * fs);

% 计算插值点数值（离散采样值与对应SINC权值的点积）

x_interp(i) = sum(x_sampled .* sinc_weights);

end

% 4. 结果可视化

figure('Position', [100, 100, 1200, 800]);

% 绘制原始连续信号

subplot(3,1,1);

plot(t_continuous, x_continuous, 'b-', 'LineWidth', 2);

hold on;

plot(t_sampled, x_sampled, 'r-', 'LineWidth', 2);

title('原始连续信号与离散采样点');

xlabel('时间 (s)'); ylabel('幅度');

legend('原始连续信号', '离散采样点', 'Location', 'northeast');

grid on;

% 绘制插值结果与原始信号对比

subplot(3,1,2);

plot(t_continuous, x_continuous, 'b-', 'LineWidth', 1.5);

hold on;

plot(t_interp, x_interp, 'ro-', 'MarkerSize', 3, 'LineWidth', 1);

stem(t_sampled, x_sampled, 'k', 'filled', 'MarkerSize', 5);

title('SINC插值结果对比');

xlabel('时间 (s)'); ylabel('幅度');

legend('原始连续信号', 'SINC插值结果', '离散采样点', 'Location', 'northeast');

grid on;

% 绘制插值误差

subplot(3,1,3);

% 在插值时间点处的原始连续信号值

x_continuous_at_interp = sin(2*pi*f0*t_interp);

error = x_interp - x_continuous_at_interp;

plot(t_interp, error, 'g-', 'LineWidth', 1.5);

title('插值误差 (插值结果 - 原始连续信号)');

xlabel('时间 (s)'); ylabel('误差');

grid on;

% 计算并显示均方根误差(RMSE)

rmse = sqrt(mean(error.^2));

fprintf('插值均方根误差(RMSE): %.6f\n', rmse);

☞上述代码框可上下滑动！

二、示波器应用

上述过程在哪儿可以直接应用呢？对，示波器！

作为时域测量的扛把子，泰克示波器产品线中，从入门级的TDS1000B 到高端的DPO70000系列，几乎所有数字示波器系列都支持Sinc插值功能。

图5 泰克示波器经济型示波器也支持Sinc插值

罗德与施瓦茨RTO6系列同时搭配线性插值、采样和保持这两种插值方式，用户可根据测量的信号类型灵活选择合适模式，适配不同场景下的波形还原需求。

图6 R&S RTO6支持包括Sinc在内的多种插值方式

三、理想重建的局限性：为什么工程中不用“纯sinc”？

理想sinc插值在数学上完美，但无法直接工程实现，核心问题有两个：

无限长特性：公式n取±∞，意味着重建一个点需要用到所有采样点（包括未来的采样点），这在物理上是“非因果”的（无法预测未来信号）；
收敛速度慢：sinc函数的尾部衰减速度为1/x，截断后会产生“吉布斯现象”（频谱旁瓣泄漏），导致重建信号出现微小失真。

四、工程化重建方案：sinc函数的“近似实现”

工程中所有无失真重建方案，本质都是理想sinc插值的近似，核心思路是“有限长截断+窗函数优化”，最常用的是有限长sinc-FIR滤波器，步骤如下：

截断sinc函数：将无限长sinc函数截断为N个抽头（N为奇数，围绕n=0对称，如N=64、128），仅用附近N个采样点参与插值（因果性实现）；
窗函数加权：用汉明窗、汉宁窗或布莱克曼窗对截断后的sinc函数加权，抑制吉布斯现象（旁瓣泄漏），提升镜像抑制比；
FIR滤波器实现：将加权后的有限长sinc序列作为FIR滤波器的脉冲响应，离散采样值通过该滤波器后，直接输出连续（或高采样率离散）的重建信号——这就是DAC、DUC中常用的“插值滤波一体”方案。

五、总结：重建方法的核心逻辑

奈奎斯特采样定理的“无失真重建”，其数学本质是sinc函数插值（理想低通滤波）——通过sinc函数的时域加权补全和平滑特性，以及频域的理想低通滤波特性，完美还原原始连续信号。

工程实践中，由于理想sinc函数无法实现，采用有限长sinc-FIR滤波器进行近似，本质是用“可实现的硬件结构”逼近“理想重建效果”。无论是DAC的信号重建、DUC的插值滤波，还是软件无线电（SDR）的信号恢复，其核心原理都源于此。

简言之：奈奎斯特定理的“无失真”，是由sinc插值保证的；工程中的“高保真”，是sinc插值的工程化落地结果。下次再看见那个“张牙舞爪”的锯齿波，不要怀疑是不是亲生的啦，脑补一个sinc函数插值吧。

关于祯仪

祯仪科技，专业从事宽频段无线电信号接收，适用于无线电管理、信号侦查与分析、通用频谱分析、卫星导航监测、低空复杂电磁环境感知等。

END

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