近日全国产的90GHz示波器的推出，让国人大为振奋，其背后体现了极致的采样与数字信号处理能力。在数字化浪潮席卷全球的今天，信号处理作为现代工程技术的核心，贯穿于通信、雷达、音频、图像处理等各个领域。当我们试图将连续的模拟信号转换为离散的数字信号时，采样定理便是必须遵循的“金科玉律”。

图1 万里眼90GHz示波器，采样率200Gsample/s

而其中，奈奎斯特采样定理与带通采样定理时常让人混淆—— 它们都关乎采样频率与信号频率的关系，却又在应用场景和采样要求上大相径庭，奈奎斯特采样定理要求采样频率高于最高频率的两倍，而带通采样定理允许无线电接收设备的采样率远低于电磁波信号的真实载波频率。究竟二者是同根同源的“孪生兄弟”，还是各司其职的 “功能互补体”？本文带您一探究竟。

把采样定理确定为数字信号处理理论的一大基石，应该没有人有意见。奈奎斯特同志在1928年首次提出了“带宽与最大信息传输速率”的关系，为采样定理奠定数学基础。香农同志在1948年，系统化的阐述了采样定理，明确了带限信号的采样与重建条件，定理也因此被称为“奈奎斯特-香农采样定理”。

图2 哈利·奈奎斯特与克劳德·艾尔伍德·香农

但是直到二十世纪六七十年代，数字信号处理才真正兴盛繁荣起来，用于商业和工程实践之中。既然相对模拟处理方法有着很多明显的优势，为啥延迟了二三十年之久呢？最大的原因还是在于数字信号处理方式强烈依赖半导体/微电子产业的发展。只有大规模集成电路/超大规模集成电路发展和成熟到一定规模时，数字信号处理技术才好真正落地应用。

表1 数字信号处理发展过程中的若干里程碑事件

首先，采样定理指出了把一个带宽有限的、物理客观真实存在的模拟信号，进行数字化后，保证不失真和重新完整恢复原有模拟信号的条件和要求。

这里同样用图形化的方式来展现一个带宽有限的信号的数字化过程。如下图3所示，黑色的信号表示真实的模拟信号的频谱。由于实信号的频谱是共轭对称的，因此我们把它化成一个对称的形状。该模拟信号进行采样数字化后，其频谱就会复制无穷份，不但包括了图中黑色的那一个，也包括了那些灰色的部分。这些灰色的部分，可以认为是原始黑色部分的频谱按照一个固定的步进值进行了无穷份的复制。这个步进值，就是数字采样时的采样频率值。

图3 采样定理的图形化表示

当采样率低于信号最高频率值的两倍时，从图上看，由于信号的频谱是共轭对称的，其实也就是低于信号的带宽时，这些灰色频谱部分的步进就小于信号自身的带宽，那么复制后频谱就与原始的黑色部分产生了重叠，重叠部分也对应该信号的高频率分量部分，这一部分由于重叠也就无法恢复出原始的样子。这也是采样率（在图中我们可称之为步进值）最小就是最高频率值2倍（即带宽）的原因，因为采样率正好等于信号的带宽时，复制后的频谱刚好紧紧的挨在一起，刚好不重叠。

其次，我们再看带通采样定理，带通采样定理指出，采样率可以低到信号带宽的2倍。同样我们也用图形化方式看看，为何带通采样率可以远低于信号的最高频率，以及跟采样定理有何区别。

 如下图4所示，黑色部分表示一个带通信号，在频率正半轴部分的载波频率为76.8MHz，带宽为1MHz，按照基带采样定理，采样率需要至少153.6MHz才行。但由于它是带通信号，也就是在频率正半轴，它的最低频率分量并没有延伸到0Hz,是位于76.8MHz-0.5MHz =76.3MHz位置。根据采样定理，对该信号采样，采样率是低于153.6MHz的102.4MHz，同样运用上面描述的操作，即频谱按照采样率值步进式复制操作，采样后的信号频谱不但包含了黑色频谱部分，还包括复制出来的众多灰色频谱部分。由于信号带宽有限，因此无穷次复制后的频谱并不会产生混叠，只要把其中的25.6MHz位置的频谱进行移频，搬移到0频位置，再用一个低通滤波器滤出这个频谱部分即可。

图4 带通采样定理的图形化表示

通过以上对比，可以看出，带通采样定理跟采样定理都是一样的数字化采样过程，都是原始信号频谱按采样率数值进行步进式复制的过程。由于带通信号带宽值，通常远小于该带通信号的中心频率值，因此可以用一个小于中心频率值的步进（即采样率）来进行步进式复制，也可以保证相互之间不重叠。只要相互之间不重叠，就可以完全保留原始信号的信息，就可以进一步通过移频和低通滤波操作把其中的一份提取出来。这也是软件无线电/超外差接收机中广泛采用的一个操作。

带通采样定理跟采样定理没有本质上的不同。两者的操作完全相同，采样过程对应原始信号的步进式复制，只要保证复制后的各个频谱成分，不重叠即可。从理论本质看，奈奎斯特采样定理是带通采样定理的特殊情况：当带通信号的最低频率接近0Hz时，带通采样退化为基带采样，此时采样频率大于二倍最大频率，也大于二倍信号带宽，与奈奎斯特定理一致。

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